双曲線 $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$ の性質

双曲線 $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$ の中心、焦点、頂点、共役頂点、実軸の長さ、半実軸の長さ、虚軸の長さ、半虚軸の長さ、通径、通径の長さ（焦点弦の長さ）、焦点パラメータ（準通径）、離心率、線離心距離（焦点距離）、準線、漸近線、x切片、y切片、定義域、値域を求めよ。

双曲線の方程式は$$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} - \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$であり、$$$\left(h, k\right)$$$は中心、$$$a$$$と$$$b$$$は半長軸および半短軸の長さです。

この形の双曲線は$$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{1} - \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{1} = 1$$$です。

したがって、$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 1$$$。

標準形は$$$\frac{x^{2}}{1^{2}} - \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$$$です。

頂点形式は $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$ です。

一般形は$$$x^{2} - y^{2} - 1 = 0$$$です。

離心距離（焦点距離）は $$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{2}$$$ です。

離心率は$$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{2}$$$です。

第一焦点は$$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{2}, 0\right)$$$です。

第2焦点は$$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{2}, 0\right)$$$です。

最初の頂点は $$$\left(h - a, k\right) = \left(-1, 0\right)$$$ です。

第2の頂点は$$$\left(h + a, k\right) = \left(1, 0\right)$$$です。

第1の副頂点は$$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -1\right)$$$です。

2つ目の副頂点は$$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 1\right)$$$です。

長軸の長さは$$$2 a = 2$$$です。

短軸の長さは$$$2 b = 2$$$です。

焦点パラメータは、焦点と準線の距離である: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$

準通径は、各焦点を通り、短軸に平行な直線である。

第1通径は$$$x = - \sqrt{2}$$$です。

第2の準弦は$$$x = \sqrt{2}$$$です。

第1通径の端点は、連立方程式 $$$\begin{cases} x^{2} - y^{2} - 1 = 0 \\ x = - \sqrt{2} \end{cases}$$$ を解くことで求められます（手順は 連立方程式計算機 を参照）。

第1の準弦の端点は$$$\left(- \sqrt{2}, -1\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{2}, 1\right)$$$です。

第2の準弦の端点は、$$$\begin{cases} x^{2} - y^{2} - 1 = 0 \\ x = \sqrt{2} \end{cases}$$$ を解くことで求められます（手順については 連立方程式計算機 を参照してください）。

第2の準通径の端点は$$$\left(\sqrt{2}, -1\right)$$$, $$$\left(\sqrt{2}, 1\right)$$$です。

準直径（焦点弦）の長さは $$$\frac{2 b^{2}}{a} = 2$$$ です。

第一の準線は$$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$$です。

第二の準線は$$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$です。

第1の漸近線は$$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - x$$$です。

第2の漸近線は $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = x$$$ です。

x切片は、方程式で$$$y = 0$$$とおき、$$$x$$$について解くことで求められます（手順はintercepts calculatorを参照）。

x切片: $$$\left(-1, 0\right)$$$, $$$\left(1, 0\right)$$$

y切片は、方程式で$$$x = 0$$$とおき、$$$y$$$について解くことで求められます（手順はintercepts calculatorを参照してください）。

実数解がないため、y切片は存在しません。

標準形/方程式: $$$\frac{x^{2}}{1^{2}} - \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$$$A.

頂点形/方程式: $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$A.

一般形/方程式: $$$x^{2} - y^{2} - 1 = 0$$$A.

第1の焦点・準線の形/方程式: $$$\left(x + \sqrt{2}\right)^{2} + y^{2} = 2 \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$$A

第2の焦点-準線の形/方程式: $$$\left(x - \sqrt{2}\right)^{2} + y^{2} = 2 \left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$$A.

グラフ：graphing calculatorを参照してください。

中心: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

第一焦点: $$$\left(- \sqrt{2}, 0\right)\approx \left(-1.414213562373095, 0\right)$$$A.

第二焦点: $$$\left(\sqrt{2}, 0\right)\approx \left(1.414213562373095, 0\right)$$$A.

最初の頂点: $$$\left(-1, 0\right)$$$A。

第2の頂点: $$$\left(1, 0\right)$$$A.

第1副頂点：$$$\left(0, -1\right)$$$A。

第2の副頂点：$$$\left(0, 1\right)$$$A。

長軸（実軸）の長さ: $$$2$$$A.

長半径の長さ: $$$1$$$A.

短軸（共役軸）の長さ: $$$2$$$A.

短半径の長さ: $$$1$$$A.

第1準弦: $$$x = - \sqrt{2}\approx -1.414213562373095$$$A.

第二準弦: $$$x = \sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

第1の通径の端点: $$$\left(- \sqrt{2}, -1\right)\approx \left(-1.414213562373095, -1\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{2}, 1\right)\approx \left(-1.414213562373095, 1\right)$$$A。

第2通径の両端点: $$$\left(\sqrt{2}, -1\right)\approx \left(1.414213562373095, -1\right)$$$, $$$\left(\sqrt{2}, 1\right)\approx \left(1.414213562373095, 1\right)$$$A.

準通径（焦点幅）の長さ: $$$2$$$A

準通径: $$$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A.

離心率：$$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A。

線離心率（焦点距離）: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

第1の準線: $$$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0.707106781186548$$$A.

第2の準線: $$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A.

第1の漸近線: $$$y = - x$$$A。

第二の漸近線：$$$y = x$$$A。

x切片: $$$\left(-1, 0\right)$$$, $$$\left(1, 0\right)$$$A.

y切片：y切片はありません。

定義域: $$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$$A.

値域：$$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A。