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双曲线$$$x^{2} - y^{2} = 1$$$的性质
您的输入
求双曲线 $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$ 的中心、焦点、顶点、共轭顶点、实轴长度、半实轴长度、共轭轴长度、半共轭轴长度、通径、通径长度（焦宽）、焦半通径、偏心率、线性偏心距（半焦距）、准线、渐近线、x 轴截距、y 轴截距、定义域和值域。
解答
双曲线的方程为$$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} - \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$，其中$$$\left(h, k\right)$$$为中心，$$$a$$$和$$$b$$$分别为实半轴和虚半轴的长度。
我们的双曲线在此形式下为 $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{1} - \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{1} = 1$$$。
因此，$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 1$$$。
标准形式为$$$\frac{x^{2}}{1^{2}} - \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$$$。
顶点式为 $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$。
一般式为$$$x^{2} - y^{2} - 1 = 0$$$。
线偏心距（半焦距）为 $$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{2}$$$。
离心率为 $$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{2}$$$。
第一个焦点为$$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{2}, 0\right)$$$。
第二个焦点是 $$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{2}, 0\right)$$$。
第一个顶点是$$$\left(h - a, k\right) = \left(-1, 0\right)$$$。
第二个顶点为 $$$\left(h + a, k\right) = \left(1, 0\right)$$$。
第一个副顶点是$$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -1\right)$$$。
第二个副顶点是 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 1\right)$$$。
长轴的长度为 $$$2 a = 2$$$。
短轴的长度为 $$$2 b = 2$$$。
焦参数是焦点与准线之间的距离: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.
通径是通过焦点并与短轴平行的弦。
第一条通径为 $$$x = - \sqrt{2}$$$。
第二条通径为 $$$x = \sqrt{2}$$$。
第一条通径的端点可通过求解方程组 $$$\begin{cases} x^{2} - y^{2} - 1 = 0 \\ x = - \sqrt{2} \end{cases}$$$ 得到（步骤参见 方程组计算器）。
第一条通径的端点为$$$\left(- \sqrt{2}, -1\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{2}, 1\right)$$$。
第二条通径的端点可以通过解方程组 $$$\begin{cases} x^{2} - y^{2} - 1 = 0 \\ x = \sqrt{2} \end{cases}$$$ 求得（步骤见方程组计算器）。
第二条通径的端点为 $$$\left(\sqrt{2}, -1\right)$$$, $$$\left(\sqrt{2}, 1\right)$$$。
通径（焦宽）的长度为 $$$\frac{2 b^{2}}{a} = 2$$$。
第一条准线为$$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$$。
第二条准线为 $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$。
第一条渐近线为$$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - x$$$。
第二条渐近线是$$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = x$$$。
可以通过在方程中令$$$y = 0$$$并对$$$x$$$求解来找到 x 轴截距（步骤见 截距计算器）。
x 轴截距：$$$\left(-1, 0\right)$$$, $$$\left(1, 0\right)$$$
与 y 轴的交点可以通过在方程中令$$$x = 0$$$并求解$$$y$$$来找到: (步骤参见 截距计算器)。
由于没有实数解，因此没有 y 轴截点。
答案
标准形式/方程: $$$\frac{x^{2}}{1^{2}} - \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$$$A.
顶点式/方程：$$$x^{2} - y^{2} = 1$$$A。
一般式/方程：$$$x^{2} - y^{2} - 1 = 0$$$A.
第一种焦点-准线形式/方程：$$$\left(x + \sqrt{2}\right)^{2} + y^{2} = 2 \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$$A。
第二焦点-准线形式/方程：$$$\left(x - \sqrt{2}\right)^{2} + y^{2} = 2 \left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$$A。
图像：参见 图形计算器。
中心：$$$\left(0, 0\right)$$$A。
第一个焦点：$$$\left(- \sqrt{2}, 0\right)\approx \left(-1.414213562373095, 0\right)$$$A。
第二焦点：$$$\left(\sqrt{2}, 0\right)\approx \left(1.414213562373095, 0\right)$$$A。
第一个顶点：$$$\left(-1, 0\right)$$$A。
第二个顶点：$$$\left(1, 0\right)$$$A。
第一个副顶点：$$$\left(0, -1\right)$$$A。
第二个副顶点：$$$\left(0, 1\right)$$$A。
长（实）轴长度：$$$2$$$A。
长半轴长度：$$$1$$$A。
短轴（共轭轴）长度：$$$2$$$A。
半短轴长度：$$$1$$$A。
第一条通径：$$$x = - \sqrt{2}\approx -1.414213562373095$$$A。
第二通径: $$$x = \sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.
第一条通径的端点：$$$\left(- \sqrt{2}, -1\right)\approx \left(-1.414213562373095, -1\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{2}, 1\right)\approx \left(-1.414213562373095, 1\right)$$$A。
第二条通径的端点：$$$\left(\sqrt{2}, -1\right)\approx \left(1.414213562373095, -1\right)$$$, $$$\left(\sqrt{2}, 1\right)\approx \left(1.414213562373095, 1\right)$$$A
通径长度（焦宽）：$$$2$$$A。
半通径：$$$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A。
离心率: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.
离心距（焦点距离）：$$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A。
第一条准线：$$$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0.707106781186548$$$A。
第二准线：$$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A。
第一条渐近线：$$$y = - x$$$A。
第二条渐近线：$$$y = x$$$A。
x 轴截距: $$$\left(-1, 0\right)$$$, $$$\left(1, 0\right)$$$A.
y轴截距：无 y 轴截距。
定义域：$$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$$A。
值域：$$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A。