椭圆计算器

求椭圆 $$$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$ 的中心、焦点、顶点、副顶点、长轴长度、半长轴长度、短轴长度、半短轴长度、面积、周长、通径、通径长度（焦宽）、半通径、离心率、离心距（半焦距）、准线、x 轴截点、y 轴截点、定义域和值域。

椭圆的方程为$$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$，其中$$$\left(h, k\right)$$$为中心，$$$a$$$和$$$b$$$分别是半长轴和半短轴的长度。

我们的椭圆在此形式下为 $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} = 1$$$。

因此，$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$。

标准形式为$$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$$$。

顶点式为 $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$$$。

一般式为$$$4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0$$$。

线偏心距（半焦距）为 $$$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{5}$$$。

离心率为 $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$$。

第一个焦点为$$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{5}, 0\right)$$$。

第二个焦点是 $$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{5}, 0\right)$$$。

第一个顶点是$$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$。

第二个顶点为 $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$。

第一个副顶点是$$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$。

第二个副顶点是 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$。

长轴的长度为 $$$2 a = 6$$$。

短轴的长度为 $$$2 b = 4$$$。

面积为 $$$\pi a b = 6 \pi$$$。

圆周长为 $$$4 a E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 12 E\left(\frac{5}{9}\right)$$$。

焦参数是焦点与准线之间的距离: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$$.

通径是通过焦点并与短轴平行的弦。

第一条通径为 $$$x = - \sqrt{5}$$$。

第二条通径为 $$$x = \sqrt{5}$$$。

第一条通径的端点可通过求解方程组 $$$\begin{cases} 4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0 \\ x = - \sqrt{5} \end{cases}$$$ 得到（步骤参见 方程组计算器）。

第一条通径的端点为$$$\left(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)$$$。

第二条通径的端点可以通过解方程组 $$$\begin{cases} 4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0 \\ x = \sqrt{5} \end{cases}$$$ 求得（步骤见方程组计算器）。

第二条通径的端点为 $$$\left(\sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)$$$。

通径（焦宽）的长度为 $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{8}{3}$$$。

第一条准线为$$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{9 \sqrt{5}}{5}$$$。

第二条准线为 $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{5}}{5}$$$。

可以通过在方程中令$$$y = 0$$$并对$$$x$$$求解来找到 x 轴截距（步骤见 截距计算器）。

x 轴截距：$$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$

与 y 轴的交点可以通过在方程中令$$$x = 0$$$并求解$$$y$$$来找到: (步骤参见 截距计算器)。

y 轴截距：$$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$

定义域为$$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-3, 3\right]$$$。

值域为 $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[-2, 2\right]$$$。

标准形式/方程: $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$$$A.

顶点式/方程：$$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$$$A。

一般式/方程：$$$4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0$$$A.

第一种焦点-准线形式/方程：$$$\left(x + \sqrt{5}\right)^{2} + y^{2} = \frac{5 \left(x + \frac{9 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}{9}$$$A。

第二焦点-准线形式/方程：$$$\left(x - \sqrt{5}\right)^{2} + y^{2} = \frac{5 \left(x - \frac{9 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}{9}$$$A。

图像：参见 图形计算器。

中心：$$$\left(0, 0\right)$$$A。

第一个焦点：$$$\left(- \sqrt{5}, 0\right)\approx \left(-2.23606797749979, 0\right)$$$A。

第二焦点：$$$\left(\sqrt{5}, 0\right)\approx \left(2.23606797749979, 0\right)$$$A。

第一个顶点：$$$\left(-3, 0\right)$$$A。

第二个顶点：$$$\left(3, 0\right)$$$A。

第一个副顶点：$$$\left(0, -2\right)$$$A。

第二个副顶点：$$$\left(0, 2\right)$$$A。

长轴长度：$$$6$$$A。

长半轴长度：$$$3$$$A。

短轴长度：$$$4$$$A。

半短轴长度：$$$2$$$A。

面积：$$$6 \pi\approx 18.849555921538759$$$A。

圆周长：$$$12 E\left(\frac{5}{9}\right)\approx 15.86543958929059$$$A。

第一条通径：$$$x = - \sqrt{5}\approx -2.23606797749979$$$A。

第二通径: $$$x = \sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

第一条通径的端点：$$$\left(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)\approx \left(-2.23606797749979, -1.333333333333333\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)\approx \left(-2.23606797749979, 1.333333333333333\right)$$$A。

第二条通径的端点：$$$\left(\sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)\approx \left(2.23606797749979, -1.333333333333333\right)$$$, $$$\left(\sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)\approx \left(2.23606797749979, 1.333333333333333\right)$$$A

通径长度（焦宽）：$$$\frac{8}{3}\approx 2.666666666666667$$$A。

半通径：$$$\frac{4 \sqrt{5}}{5}\approx 1.788854381999832$$$A。

离心率: $$$\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0.74535599249993$$$A.

离心距（焦点距离）：$$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A。

第一条准线：$$$x = - \frac{9 \sqrt{5}}{5}\approx -4.024922359499621$$$A。

第二准线：$$$x = \frac{9 \sqrt{5}}{5}\approx 4.024922359499621$$$A。

x 轴截距: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$A.

y轴截距：$$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A。

定义域：$$$\left[-3, 3\right]$$$A。

值域：$$$\left[-2, 2\right]$$$A。