抛物线计算器

求抛物线 $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$ 的顶点、焦点、准线、对称轴、通径、通径的长度（焦宽）、焦点参数、焦距、离心率、x截距、y截距、定义域和值域。

抛物线的方程为$$$y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$$$，其中$$$\left(h, k\right)$$$为顶点，$$$\left(h, f\right)$$$为焦点。

我们的抛物线在这种形式下为 $$$y = \frac{1}{4 \left(\frac{21}{4} - 5\right)} \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$。

因此，$$$h = 2$$$, $$$k = 5$$$, $$$f = \frac{21}{4}$$$。

标准形式为$$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$。

一般式为$$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$。

顶点式为 $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$。

准线为$$$y = d$$$。

要找到$$$d$$$，利用焦点到顶点的距离等于顶点到准线的距离这一事实：$$$5 - \frac{21}{4} = d - 5$$$

因此，准线为 $$$y = \frac{19}{4}$$$。

对称轴是垂直于准线并经过顶点和焦点的直线：$$$x = 2$$$。

焦距是焦点与顶点之间的距离：$$$\frac{1}{4}$$$

焦参数是焦点与准线之间的距离: $$$\frac{1}{2}$$$.

通径与准线平行且经过焦点：$$$y = \frac{21}{4}$$$。

通径的端点可以通过求解方程组 $$$\begin{cases} x^{2} - 4 x - y + 9 = 0 \\ y = \frac{21}{4} \end{cases}$$$ 得到（步骤参见方程组计算器）。

通径的端点为 $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$。

通径（焦宽）的长度是顶点到焦点距离的四倍：$$$1$$$。

抛物线的离心率恒为$$$1$$$。

可以通过在方程中令$$$y = 0$$$并对$$$x$$$求解来找到 x 轴截距（步骤见 截距计算器）。

由于没有实数解，因此没有 x 截距。

与 y 轴的交点可以通过在方程中令$$$x = 0$$$并求解$$$y$$$来找到: (步骤参见 截距计算器)。

y轴截距：$$$\left(0, 9\right)$$$。

标准形式/方程: $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$A.

一般式/方程：$$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$A.

顶点式/方程：$$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$A。

焦点-准线形式/方程：$$$\left(x - 2\right)^{2} + \left(y - \frac{21}{4}\right)^{2} = \left(y - \frac{19}{4}\right)^{2}$$$A。

图像：参见 图形计算器。

顶点：$$$\left(2, 5\right)$$$A。

焦点：$$$\left(2, \frac{21}{4}\right) = \left(2, 5.25\right)$$$A。

准线：$$$y = \frac{19}{4} = 4.75$$$A。

对称轴：$$$x = 2$$$A。

通径：$$$y = \frac{21}{4} = 5.25$$$A。

通径的端点：$$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(1.5, 5.25\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(2.5, 5.25\right)$$$A。

通径长度（焦宽）：$$$1$$$A。

半通径：$$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A。

焦距：$$$\frac{1}{4} = 0.25$$$A。

离心率: $$$1$$$A.

x 轴截距: 无 x 轴截距.

y轴截距：$$$\left(0, 9\right)$$$A。

定义域：$$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A。

值域：$$$\left[5, \infty\right)$$$A。