楕円計算機

楕円 $$$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$ の中心、焦点、頂点、共役頂点、長軸の長さ、長半軸の長さ、短軸の長さ、短半軸の長さ、面積、周長、準弦、準弦の長さ（焦点幅）、準半径、離心率、線離心率（焦点距離）、準線、x切片、y切片、定義域、および値域を求めよ。

楕円の方程式は$$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$であり、$$$\left(h, k\right)$$$は中心、$$$a$$$と$$$b$$$は半長軸および半短軸の長さです。

この形の楕円は$$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} = 1$$$です。

したがって、$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$。

標準形は$$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$$$です。

頂点形式は $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$$$ です。

一般形は$$$4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0$$$です。

離心距離（焦点距離）は $$$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{5}$$$ です。

離心率は$$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$$です。

第一焦点は$$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{5}, 0\right)$$$です。

第2焦点は$$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{5}, 0\right)$$$です。

最初の頂点は $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$ です。

第2の頂点は$$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$です。

第1の副頂点は$$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$です。

2つ目の副頂点は$$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$です。

長軸の長さは$$$2 a = 6$$$です。

短軸の長さは$$$2 b = 4$$$です。

面積は$$$\pi a b = 6 \pi$$$です。

円周は$$$4 a E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 12 E\left(\frac{5}{9}\right)$$$です。

焦点パラメータは、焦点と準線の距離である: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$$

準通径は、各焦点を通り、短軸に平行な直線である。

第1通径は$$$x = - \sqrt{5}$$$です。

第2の準弦は$$$x = \sqrt{5}$$$です。

第1通径の端点は、連立方程式 $$$\begin{cases} 4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0 \\ x = - \sqrt{5} \end{cases}$$$ を解くことで求められます（手順は 連立方程式計算機 を参照）。

第1の準弦の端点は$$$\left(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)$$$です。

第2の準弦の端点は、$$$\begin{cases} 4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0 \\ x = \sqrt{5} \end{cases}$$$ を解くことで求められます（手順については 連立方程式計算機 を参照してください）。

第2の準通径の端点は$$$\left(\sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)$$$です。

準直径（焦点弦）の長さは $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{8}{3}$$$ です。

第一の準線は$$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{9 \sqrt{5}}{5}$$$です。

第二の準線は$$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{5}}{5}$$$です。

x切片は、方程式で$$$y = 0$$$とおき、$$$x$$$について解くことで求められます（手順はintercepts calculatorを参照）。

x切片: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$

y切片は、方程式で$$$x = 0$$$とおき、$$$y$$$について解くことで求められます（手順はintercepts calculatorを参照してください）。

y切片: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$

定義域は$$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-3, 3\right]$$$です。

値域は$$$\left[k - b, k + b\right] = \left[-2, 2\right]$$$です。

標準形/方程式: $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$$$A.

頂点形/方程式: $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$$$A.

一般形/方程式: $$$4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0$$$A.

第1の焦点・準線の形/方程式: $$$\left(x + \sqrt{5}\right)^{2} + y^{2} = \frac{5 \left(x + \frac{9 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}{9}$$$A

第2の焦点-準線の形/方程式: $$$\left(x - \sqrt{5}\right)^{2} + y^{2} = \frac{5 \left(x - \frac{9 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}{9}$$$A.

グラフ：graphing calculatorを参照してください。

中心: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

第一焦点: $$$\left(- \sqrt{5}, 0\right)\approx \left(-2.23606797749979, 0\right)$$$A.

第二焦点: $$$\left(\sqrt{5}, 0\right)\approx \left(2.23606797749979, 0\right)$$$A.

最初の頂点: $$$\left(-3, 0\right)$$$A。

第2の頂点: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

第1副頂点：$$$\left(0, -2\right)$$$A。

第2の副頂点：$$$\left(0, 2\right)$$$A。

長軸の長さ: $$$6$$$A.

長半径の長さ: $$$3$$$A.

短軸の長さ: $$$4$$$A.

短半径の長さ: $$$2$$$A.

面積：$$$6 \pi\approx 18.849555921538759$$$A。

円周：$$$12 E\left(\frac{5}{9}\right)\approx 15.86543958929059$$$A。

第1準弦: $$$x = - \sqrt{5}\approx -2.23606797749979$$$A.

第二準弦: $$$x = \sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

第1の通径の端点: $$$\left(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)\approx \left(-2.23606797749979, -1.333333333333333\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)\approx \left(-2.23606797749979, 1.333333333333333\right)$$$A。

第2通径の両端点: $$$\left(\sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)\approx \left(2.23606797749979, -1.333333333333333\right)$$$, $$$\left(\sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)\approx \left(2.23606797749979, 1.333333333333333\right)$$$A.

準通径（焦点幅）の長さ: $$$\frac{8}{3}\approx 2.666666666666667$$$A

準通径: $$$\frac{4 \sqrt{5}}{5}\approx 1.788854381999832$$$A.

離心率：$$$\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0.74535599249993$$$A。

線離心率（焦点距離）: $$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

第1の準線: $$$x = - \frac{9 \sqrt{5}}{5}\approx -4.024922359499621$$$A.

第2の準線: $$$x = \frac{9 \sqrt{5}}{5}\approx 4.024922359499621$$$A.

x切片: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$A.

y切片：$$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A。

定義域: $$$\left[-3, 3\right]$$$A.

値域：$$$\left[-2, 2\right]$$$A。