Integral von $$$e^{\frac{x}{y}}$$$ nach $$$x$$$

Bestimme $$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx$$$.

Sei $$$u=\frac{x}{y}$$$.

Dann $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = y du$$$.

Somit,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{y e^{u} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=y$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{y e^{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{e^{u} d u}}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = y {\color{red}{e^{u}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=\frac{x}{y}$$$:

$$y e^{{\color{red}{u}}} = y e^{{\color{red}{\frac{x}{y}}}}$$

Daher,

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx = y e^{\frac{x}{y}} + C$$$A