$$$e^{\frac{x}{y}}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx$$$。

设$$$u=\frac{x}{y}$$$。

则$$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = y du$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{y e^{u} d u}}}$$

对 $$$c=y$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{y e^{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{e^{u} d u}}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = y {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=\frac{x}{y}$$$:

$$y e^{{\color{red}{u}}} = y e^{{\color{red}{\frac{x}{y}}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx = y e^{\frac{x}{y}} + C$$$A