Integrale di $$$e^{\frac{x}{y}}$$$ rispetto a $$$x$$$

Trova $$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx$$$.

Sia $$$u=\frac{x}{y}$$$.

Quindi $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = y du$$$.

Pertanto,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{y e^{u} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=y$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{y e^{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{e^{u} d u}}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = y {\color{red}{e^{u}}}$$

Ricordiamo che $$$u=\frac{x}{y}$$$:

$$y e^{{\color{red}{u}}} = y e^{{\color{red}{\frac{x}{y}}}}$$

Pertanto,

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx = y e^{\frac{x}{y}} + C$$$A