$$$e^{\frac{x}{y}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{y}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = y du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{y e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=y$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{y e^{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{e^{u} d u}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = y {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{y}$$$:

$$y e^{{\color{red}{u}}} = y e^{{\color{red}{\frac{x}{y}}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx = y e^{\frac{x}{y}} + C$$$A