Integral dari $$$e^{\frac{x}{y}}$$$ terhadap $$$x$$$

Temukan $$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx$$$.

Misalkan $$$u=\frac{x}{y}$$$.

Kemudian $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (langkah-langkah dapat dilihat di »), dan kita memperoleh $$$dx = y du$$$.

Jadi,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{y e^{u} d u}}}$$

Terapkan aturan pengali konstanta $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ dengan $$$c=y$$$ dan $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{y e^{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{e^{u} d u}}}$$

Integral dari fungsi eksponensial adalah $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = y {\color{red}{e^{u}}}$$

Ingat bahwa $$$u=\frac{x}{y}$$$:

$$y e^{{\color{red}{u}}} = y e^{{\color{red}{\frac{x}{y}}}}$$

Oleh karena itu,

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}$$

Tambahkan konstanta integrasi:

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx = y e^{\frac{x}{y}} + C$$$A