Integraal van $$$e^{\frac{x}{y}}$$$ met betrekking tot $$$x$$$

Bepaal $$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx$$$.

Zij $$$u=\frac{x}{y}$$$.

Dan $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = y du$$$.

Dus,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{y e^{u} d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=y$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{y e^{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{e^{u} d u}}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = y {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=\frac{x}{y}$$$:

$$y e^{{\color{red}{u}}} = y e^{{\color{red}{\frac{x}{y}}}}$$

Dus,

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx = y e^{\frac{x}{y}} + C$$$A