|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Integralrechner
Unbestimmte Integrale (Stammfunktionen) Schritt für Schritt berechnen
Dieser Online-Rechner versucht, das unbestimmte Integral (die Stammfunktion) der gegebenen Funktion zu finden und zeigt dabei die Rechenschritte an. Es werden verschiedene Techniken verwendet: Integration durch Substitution, partielle Integration, Integration mittels Partialbruchzerlegung, trigonometrische Substitutionen usw.
Verwandter Rechner: Rechner für bestimmte und uneigentliche Integrale
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\int x \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx$$$.
Lösung
Sei $$$u=x^{2}$$$.
Dann $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$x dx = \frac{du}{2}$$$.
Somit,
$${\color{red}{\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$
Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=\frac{1}{2}$$$ und $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ an:
$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$
Das Integral des Kosinus ist $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:
$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{2}$$
Zur Erinnerung: $$$u=x^{2}$$$:
$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sin{\left({\color{red}{x^{2}}} \right)}}{2}$$
Daher,
$$\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2}$$
Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:
$$\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2}+C$$
Antwort
$$$\int x \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx = \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2} + C$$$A