Calculadora Integral

Encontre integrais indefinidas (antiderivadas) passo a passo

Esta calculadora online tentará encontrar a integral indefinida (antiderivada) da função dada, com as etapas mostradas. São utilizadas diferentes técnicas: integração por substituição, integração por partes, integração por frações parciais, substituições trigonométricas, etc.

Calculadora relacionada: Calculadora de integrais definidas e impróprias

Por favor, escreva sem nenhum diferencial como $$$dx$$$, $$$dy$$$ etc.
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Sua entrada

Encontre $$$\int x \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx$$$.

Solução

Let $$$u=x^{2}$$$.

Then $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (steps can be seen here), and we have that $$$x dx = \frac{du}{2}$$$.

Therefore,

$${\color{red}{\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

Apply the constant multiple rule $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ with $$$c=\frac{1}{2}$$$ and $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

The integral of the cosine is $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{2}$$

Recall that $$$u=x^{2}$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sin{\left({\color{red}{x^{2}}} \right)}}{2}$$

Therefore,

$$\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2}$$

Add the constant of integration:

$$\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2}+C$$

Answer: $$$\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x}=\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2}+C$$$