|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Integraalrekenmachine
Vind onbepaalde integralen (primitieve functies) stap voor stap
Deze online rekenmachine zal proberen de onbepaalde integraal (primitieve functie) van de gegeven functie te bepalen, met de stappen uitgeschreven. Er worden verschillende technieken gebruikt: integreren door substitutie, partiële integratie, ontbinding in partiële breuken, trigonometrische substituties, enz.
Gerelateerde rekenmachine: Rekenmachine voor bepaalde en oneigenlijke integralen
Uw invoer
Bepaal $$$\int x \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx$$$.
Oplossing
Zij $$$u=x^{2}$$$.
Dan $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$x dx = \frac{du}{2}$$$.
De integraal wordt
$${\color{red}{\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$
Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=\frac{1}{2}$$$ en $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$
De integraal van de cosinus is $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:
$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{2}$$
We herinneren eraan dat $$$u=x^{2}$$$:
$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sin{\left({\color{red}{x^{2}}} \right)}}{2}$$
Dus,
$$\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2}$$
Voeg de integratieconstante toe:
$$\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2}+C$$
Antwoord
$$$\int x \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx = \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2} + C$$$A