Integral von $$$e^{- \frac{1}{x}}$$$

Bestimme $$$\int e^{- \frac{1}{x}}\, dx$$$.

Für das Integral $$$\int{e^{- \frac{1}{x}} d x}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=e^{- \frac{1}{x}}$$$ und $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(e^{- \frac{1}{x}}\right)^{\prime }dx=\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} dx$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (Rechenschritte siehe »).

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{1}{x}} d x}}}={\color{red}{\left(e^{- \frac{1}{x}} \cdot x-\int{x \cdot \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{- \frac{1}{x}} - \int{\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x} d x}\right)}}$$

Sei $$$u=- \frac{1}{x}$$$.

Dann $$$du=\left(- \frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x^{2}}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$\frac{dx}{x^{2}} = du$$$.

Das Integral wird zu

$$x e^{- \frac{1}{x}} - {\color{red}{\int{\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x} d x}}} = x e^{- \frac{1}{x}} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=-1$$$ und $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{u}}{u}$$$ an:

$$x e^{- \frac{1}{x}} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}} = x e^{- \frac{1}{x}} - {\color{red}{\left(- \int{\frac{e^{u}}{u} d u}\right)}}$$

Dieses Integral (Exponentialintegral) besitzt keine geschlossene Form:

$$x e^{- \frac{1}{x}} + {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = x e^{- \frac{1}{x}} + {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=- \frac{1}{x}$$$:

$$x e^{- \frac{1}{x}} + \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = x e^{- \frac{1}{x}} + \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- \frac{1}{x}\right)}} \right)}$$

Daher,

$$\int{e^{- \frac{1}{x}} d x} = x e^{- \frac{1}{x}} + \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{x} \right)}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{- \frac{1}{x}} d x} = x e^{- \frac{1}{x}} + \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{x} \right)}+C$$

$$$\int e^{- \frac{1}{x}}\, dx = \left(x e^{- \frac{1}{x}} + \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{x} \right)}\right) + C$$$A