$$$e^{- \frac{1}{x}}$$$ 的积分

求$$$\int e^{- \frac{1}{x}}\, dx$$$。

对于积分$$$\int{e^{- \frac{1}{x}} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=e^{- \frac{1}{x}}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(e^{- \frac{1}{x}}\right)^{\prime }dx=\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (步骤见 »)。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{1}{x}} d x}}}={\color{red}{\left(e^{- \frac{1}{x}} \cdot x-\int{x \cdot \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{- \frac{1}{x}} - \int{\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x} d x}\right)}}$$

设$$$u=- \frac{1}{x}$$$。

则$$$du=\left(- \frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x^{2}}$$$ (步骤见»)，并有$$$\frac{dx}{x^{2}} = du$$$。

因此，

$$x e^{- \frac{1}{x}} - {\color{red}{\int{\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x} d x}}} = x e^{- \frac{1}{x}} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{u}}{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$x e^{- \frac{1}{x}} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}} = x e^{- \frac{1}{x}} - {\color{red}{\left(- \int{\frac{e^{u}}{u} d u}\right)}}$$

该积分（指数积分）没有闭式表达式：

$$x e^{- \frac{1}{x}} + {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = x e^{- \frac{1}{x}} + {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

回忆一下 $$$u=- \frac{1}{x}$$$:

$$x e^{- \frac{1}{x}} + \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = x e^{- \frac{1}{x}} + \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- \frac{1}{x}\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{e^{- \frac{1}{x}} d x} = x e^{- \frac{1}{x}} + \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{x} \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{- \frac{1}{x}} d x} = x e^{- \frac{1}{x}} + \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{x} \right)}+C$$

$$$\int e^{- \frac{1}{x}}\, dx = \left(x e^{- \frac{1}{x}} + \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{x} \right)}\right) + C$$$A