$$$e^{- a l m x}$$$ 對 $$$a$$$ 的積分

求$$$\int e^{- a l m x}\, da$$$。

令 $$$u=- a l m x$$$。

則 $$$du=\left(- a l m x\right)^{\prime }da = - l m x da$$$ (步驟見»)，並可得 $$$da = - \frac{du}{l m x}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{- a l m x} d a}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{l m x}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{l m x}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{l m x}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{l m x}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{l m x} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{l m x}$$

回顧一下 $$$u=- a l m x$$$：

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{l m x} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- a l m x\right)}}}}{l m x}$$

因此，

$$\int{e^{- a l m x} d a} = - \frac{e^{- a l m x}}{l m x}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- a l m x} d a} = - \frac{e^{- a l m x}}{l m x}+C$$

$$$\int e^{- a l m x}\, da = - \frac{e^{- a l m x}}{l m x} + C$$$A