Intégrale de $$$e^{- a l m x}$$$ par rapport à $$$a$$$

Déterminez $$$\int e^{- a l m x}\, da$$$.

Soit $$$u=- a l m x$$$.

Alors $$$du=\left(- a l m x\right)^{\prime }da = - l m x da$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$da = - \frac{du}{l m x}$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{e^{- a l m x} d a}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{l m x}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=- \frac{1}{l m x}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{l m x}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{l m x}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{l m x} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{l m x}$$

Rappelons que $$$u=- a l m x$$$ :

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{l m x} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- a l m x\right)}}}}{l m x}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- a l m x} d a} = - \frac{e^{- a l m x}}{l m x}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- a l m x} d a} = - \frac{e^{- a l m x}}{l m x}+C$$

$$$\int e^{- a l m x}\, da = - \frac{e^{- a l m x}}{l m x} + C$$$A