$$$e^{- a l m x}$$$ 关于$$$a$$$的积分

求$$$\int e^{- a l m x}\, da$$$。

设$$$u=- a l m x$$$。

则$$$du=\left(- a l m x\right)^{\prime }da = - l m x da$$$ (步骤见»)，并有$$$da = - \frac{du}{l m x}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{- a l m x} d a}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{l m x}\right)d u}}}$$

对 $$$c=- \frac{1}{l m x}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{l m x}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{l m x}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{l m x} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{l m x}$$

回忆一下 $$$u=- a l m x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{l m x} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- a l m x\right)}}}}{l m x}$$

因此，

$$\int{e^{- a l m x} d a} = - \frac{e^{- a l m x}}{l m x}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{- a l m x} d a} = - \frac{e^{- a l m x}}{l m x}+C$$

$$$\int e^{- a l m x}\, da = - \frac{e^{- a l m x}}{l m x} + C$$$A