Integrale di $$$e^{- a l m x}$$$ rispetto a $$$a$$$

Trova $$$\int e^{- a l m x}\, da$$$.

Sia $$$u=- a l m x$$$.

Quindi $$$du=\left(- a l m x\right)^{\prime }da = - l m x da$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$da = - \frac{du}{l m x}$$$.

L'integrale può essere riscritto come

$${\color{red}{\int{e^{- a l m x} d a}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{l m x}\right)d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=- \frac{1}{l m x}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{l m x}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{l m x}\right)}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{l m x} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{l m x}$$

Ricordiamo che $$$u=- a l m x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{l m x} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- a l m x\right)}}}}{l m x}$$

Pertanto,

$$\int{e^{- a l m x} d a} = - \frac{e^{- a l m x}}{l m x}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{- a l m x} d a} = - \frac{e^{- a l m x}}{l m x}+C$$

$$$\int e^{- a l m x}\, da = - \frac{e^{- a l m x}}{l m x} + C$$$A