Integral de $$$- e^{- t}$$$

Encontre $$$\int \left(- e^{- t}\right)\, dt$$$.

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ usando $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$

Seja $$$u=- t$$$.

Então $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (veja os passos »), e obtemos $$$dt = - du$$$.

A integral pode ser reescrita como

$$- {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ usando $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

A integral da função exponencial é $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Recorde que $$$u=- t$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

Portanto,

$$\int{\left(- e^{- t}\right)d t} = e^{- t}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{\left(- e^{- t}\right)d t} = e^{- t}+C$$

$$$\int \left(- e^{- t}\right)\, dt = e^{- t} + C$$$A