Integrale di $$$- e^{- t}$$$

Trova $$$\int \left(- e^{- t}\right)\, dt$$$.

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$

Sia $$$u=- t$$$.

Quindi $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dt = - du$$$.

Pertanto,

$$- {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Ricordiamo che $$$u=- t$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

Pertanto,

$$\int{\left(- e^{- t}\right)d t} = e^{- t}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\left(- e^{- t}\right)d t} = e^{- t}+C$$

$$$\int \left(- e^{- t}\right)\, dt = e^{- t} + C$$$A