Intégrale de $$$- e^{- t}$$$

Déterminez $$$\int \left(- e^{- t}\right)\, dt$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$

Soit $$$u=- t$$$.

Alors $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = - du$$$.

Donc,

$$- {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$- {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=- t$$$ :

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(- e^{- t}\right)d t} = e^{- t}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(- e^{- t}\right)d t} = e^{- t}+C$$

$$$\int \left(- e^{- t}\right)\, dt = e^{- t} + C$$$A