Integraal van $$$- e^{- t}$$$

Bepaal $$$\int \left(- e^{- t}\right)\, dt$$$.

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ toe met $$$c=-1$$$ en $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$

Zij $$$u=- t$$$.

Dan $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dt = - du$$$.

De integraal wordt

$$- {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=-1$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=- t$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

Dus,

$$\int{\left(- e^{- t}\right)d t} = e^{- t}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{\left(- e^{- t}\right)d t} = e^{- t}+C$$

$$$\int \left(- e^{- t}\right)\, dt = e^{- t} + C$$$A