$$$- e^{- t}$$$ 的积分

求$$$\int \left(- e^{- t}\right)\, dt$$$。

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$

设$$$u=- t$$$。

则$$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (步骤见»)，并有$$$dt = - du$$$。

因此，

$$- {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$- {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=- t$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

因此，

$$\int{\left(- e^{- t}\right)d t} = e^{- t}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(- e^{- t}\right)d t} = e^{- t}+C$$

$$$\int \left(- e^{- t}\right)\, dt = e^{- t} + C$$$A