$$$- e^{- t}$$$の積分

$$$\int \left(- e^{- t}\right)\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$

$$$u=- t$$$ とする。

すると $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = - du$$$ となります。

したがって、

$$- {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$- {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- t$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

したがって、

$$\int{\left(- e^{- t}\right)d t} = e^{- t}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- e^{- t}\right)d t} = e^{- t}+C$$

$$$\int \left(- e^{- t}\right)\, dt = e^{- t} + C$$$A