Integraal van $$$e^{\frac{2 y}{x}}$$$ met betrekking tot $$$y$$$

Bepaal $$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dy$$$.

Zij $$$u=\frac{2 y}{x}$$$.

Dan $$$du=\left(\frac{2 y}{x}\right)^{\prime }dy = \frac{2}{x} dy$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dy = \frac{x du}{2}$$$.

De integraal kan worden herschreven als

$${\color{red}{\int{e^{\frac{2 y}{x}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{x e^{u}}{2} d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=\frac{x}{2}$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{x e^{u}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{x \int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{x {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = \frac{x {\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

We herinneren eraan dat $$$u=\frac{2 y}{x}$$$:

$$\frac{x e^{{\color{red}{u}}}}{2} = \frac{x e^{{\color{red}{\left(\frac{2 y}{x}\right)}}}}{2}$$

Dus,

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d y} = \frac{x e^{\frac{2 y}{x}}}{2}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d y} = \frac{x e^{\frac{2 y}{x}}}{2}+C$$

$$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dy = \frac{x e^{\frac{2 y}{x}}}{2} + C$$$A