Intégrale de $$$e^{\frac{2 y}{x}}$$$ par rapport à $$$y$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dy$$$.

Soit $$$u=\frac{2 y}{x}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{2 y}{x}\right)^{\prime }dy = \frac{2}{x} dy$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dy = \frac{x du}{2}$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{2 y}{x}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{x e^{u}}{2} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{x}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{x e^{u}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{x \int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{x {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = \frac{x {\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=\frac{2 y}{x}$$$ :

$$\frac{x e^{{\color{red}{u}}}}{2} = \frac{x e^{{\color{red}{\left(\frac{2 y}{x}\right)}}}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d y} = \frac{x e^{\frac{2 y}{x}}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d y} = \frac{x e^{\frac{2 y}{x}}}{2}+C$$

$$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dy = \frac{x e^{\frac{2 y}{x}}}{2} + C$$$A