$$$e^{\frac{2 y}{x}}$$$ の $$$y$$$ に関する積分

$$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dy$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{2 y}{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{2 y}{x}\right)^{\prime }dy = \frac{2}{x} dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = \frac{x du}{2}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{\frac{2 y}{x}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{x e^{u}}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{x}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{x e^{u}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{x \int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{x {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = \frac{x {\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{2 y}{x}$$$:

$$\frac{x e^{{\color{red}{u}}}}{2} = \frac{x e^{{\color{red}{\left(\frac{2 y}{x}\right)}}}}{2}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d y} = \frac{x e^{\frac{2 y}{x}}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d y} = \frac{x e^{\frac{2 y}{x}}}{2}+C$$

$$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dy = \frac{x e^{\frac{2 y}{x}}}{2} + C$$$A