Integral dari $$$e^{\frac{2 y}{x}}$$$ terhadap $$$y$$$

Temukan $$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dy$$$.

Misalkan $$$u=\frac{2 y}{x}$$$.

Kemudian $$$du=\left(\frac{2 y}{x}\right)^{\prime }dy = \frac{2}{x} dy$$$ (langkah-langkah dapat dilihat di »), dan kita memperoleh $$$dy = \frac{x du}{2}$$$.

Dengan demikian,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{2 y}{x}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{x e^{u}}{2} d u}}}$$

Terapkan aturan pengali konstanta $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ dengan $$$c=\frac{x}{2}$$$ dan $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{x e^{u}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{x \int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

Integral dari fungsi eksponensial adalah $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{x {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = \frac{x {\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

Ingat bahwa $$$u=\frac{2 y}{x}$$$:

$$\frac{x e^{{\color{red}{u}}}}{2} = \frac{x e^{{\color{red}{\left(\frac{2 y}{x}\right)}}}}{2}$$

Oleh karena itu,

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d y} = \frac{x e^{\frac{2 y}{x}}}{2}$$

Tambahkan konstanta integrasi:

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d y} = \frac{x e^{\frac{2 y}{x}}}{2}+C$$

$$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dy = \frac{x e^{\frac{2 y}{x}}}{2} + C$$$A