$$$z^{2} e^{- z}$$$의 적분

$$$\int z^{2} e^{- z}\, dz$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{z^{2} e^{- z} d z}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=z^{2}$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- z} dz$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(z^{2}\right)^{\prime }dz=2 z dz$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- z} d z}=- e^{- z}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$${\color{red}{\int{z^{2} e^{- z} d z}}}={\color{red}{\left(z^{2} \cdot \left(- e^{- z}\right)-\int{\left(- e^{- z}\right) \cdot 2 z d z}\right)}}={\color{red}{\left(- z^{2} e^{- z} - \int{\left(- 2 z e^{- z}\right)d z}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$을 $$$c=-2$$$와 $$$f{\left(z \right)} = z e^{- z}$$$에 적용하세요:

$$- z^{2} e^{- z} - {\color{red}{\int{\left(- 2 z e^{- z}\right)d z}}} = - z^{2} e^{- z} - {\color{red}{\left(- 2 \int{z e^{- z} d z}\right)}}$$

적분 $$$\int{z e^{- z} d z}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=z$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- z} dz$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(z\right)^{\prime }dz=1 dz$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- z} d z}=- e^{- z}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$- z^{2} e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{z e^{- z} d z}}}=- z^{2} e^{- z} + 2 {\color{red}{\left(z \cdot \left(- e^{- z}\right)-\int{\left(- e^{- z}\right) \cdot 1 d z}\right)}}=- z^{2} e^{- z} + 2 {\color{red}{\left(- z e^{- z} - \int{\left(- e^{- z}\right)d z}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(z \right)} = e^{- z}$$$에 적용하세요:

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{- z}\right)d z}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{- z} d z}\right)}}$$

$$$u=- z$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(- z\right)^{\prime }dz = - dz$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dz = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{e^{- z} d z}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$에 적용하세요:

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

지수 함수의 적분은 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$입니다:

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

다음 $$$u=- z$$$을 기억하라:

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 e^{{\color{red}{u}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 e^{{\color{red}{\left(- z\right)}}}$$

따라서,

$$\int{z^{2} e^{- z} d z} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 e^{- z}$$

간단히 하시오:

$$\int{z^{2} e^{- z} d z} = \left(- z^{2} - 2 z - 2\right) e^{- z}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{z^{2} e^{- z} d z} = \left(- z^{2} - 2 z - 2\right) e^{- z}+C$$

$$$\int z^{2} e^{- z}\, dz = \left(- z^{2} - 2 z - 2\right) e^{- z} + C$$$A