$$$z^{2} e^{- z}$$$ 的积分

求$$$\int z^{2} e^{- z}\, dz$$$。

对于积分$$$\int{z^{2} e^{- z} d z}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=z^{2}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- z} dz$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(z^{2}\right)^{\prime }dz=2 z dz$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- z} d z}=- e^{- z}$$$ (步骤见 »)。

积分变为

$${\color{red}{\int{z^{2} e^{- z} d z}}}={\color{red}{\left(z^{2} \cdot \left(- e^{- z}\right)-\int{\left(- e^{- z}\right) \cdot 2 z d z}\right)}}={\color{red}{\left(- z^{2} e^{- z} - \int{\left(- 2 z e^{- z}\right)d z}\right)}}$$

对 $$$c=-2$$$ 和 $$$f{\left(z \right)} = z e^{- z}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$：

$$- z^{2} e^{- z} - {\color{red}{\int{\left(- 2 z e^{- z}\right)d z}}} = - z^{2} e^{- z} - {\color{red}{\left(- 2 \int{z e^{- z} d z}\right)}}$$

对于积分$$$\int{z e^{- z} d z}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=z$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- z} dz$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(z\right)^{\prime }dz=1 dz$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- z} d z}=- e^{- z}$$$ (步骤见 »)。

积分变为

$$- z^{2} e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{z e^{- z} d z}}}=- z^{2} e^{- z} + 2 {\color{red}{\left(z \cdot \left(- e^{- z}\right)-\int{\left(- e^{- z}\right) \cdot 1 d z}\right)}}=- z^{2} e^{- z} + 2 {\color{red}{\left(- z e^{- z} - \int{\left(- e^{- z}\right)d z}\right)}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(z \right)} = e^{- z}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$：

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{- z}\right)d z}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{- z} d z}\right)}}$$

设$$$u=- z$$$。

则$$$du=\left(- z\right)^{\prime }dz = - dz$$$ (步骤见»)，并有$$$dz = - du$$$。

因此，

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{e^{- z} d z}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=- z$$$:

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 e^{{\color{red}{u}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 e^{{\color{red}{\left(- z\right)}}}$$

因此，

$$\int{z^{2} e^{- z} d z} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 e^{- z}$$

化简：

$$\int{z^{2} e^{- z} d z} = \left(- z^{2} - 2 z - 2\right) e^{- z}$$

加上积分常数：

$$\int{z^{2} e^{- z} d z} = \left(- z^{2} - 2 z - 2\right) e^{- z}+C$$

$$$\int z^{2} e^{- z}\, dz = \left(- z^{2} - 2 z - 2\right) e^{- z} + C$$$A