$$$z^{2} e^{- z}$$$の積分

$$$\int z^{2} e^{- z}\, dz$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{z^{2} e^{- z} d z}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=z^{2}$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{- z} dz$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(z^{2}\right)^{\prime }dz=2 z dz$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{- z} d z}=- e^{- z}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{z^{2} e^{- z} d z}}}={\color{red}{\left(z^{2} \cdot \left(- e^{- z}\right)-\int{\left(- e^{- z}\right) \cdot 2 z d z}\right)}}={\color{red}{\left(- z^{2} e^{- z} - \int{\left(- 2 z e^{- z}\right)d z}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$ を、$$$c=-2$$$ と $$$f{\left(z \right)} = z e^{- z}$$$ に対して適用する:

$$- z^{2} e^{- z} - {\color{red}{\int{\left(- 2 z e^{- z}\right)d z}}} = - z^{2} e^{- z} - {\color{red}{\left(- 2 \int{z e^{- z} d z}\right)}}$$

積分 $$$\int{z e^{- z} d z}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=z$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{- z} dz$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(z\right)^{\prime }dz=1 dz$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{- z} d z}=- e^{- z}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$- z^{2} e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{z e^{- z} d z}}}=- z^{2} e^{- z} + 2 {\color{red}{\left(z \cdot \left(- e^{- z}\right)-\int{\left(- e^{- z}\right) \cdot 1 d z}\right)}}=- z^{2} e^{- z} + 2 {\color{red}{\left(- z e^{- z} - \int{\left(- e^{- z}\right)d z}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(z \right)} = e^{- z}$$$ に対して適用する:

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{- z}\right)d z}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{- z} d z}\right)}}$$

$$$u=- z$$$ とする。

すると $$$du=\left(- z\right)^{\prime }dz = - dz$$$（手順は»で確認できます）、$$$dz = - du$$$ となります。

したがって、

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{e^{- z} d z}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- z$$$:

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 e^{{\color{red}{u}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 e^{{\color{red}{\left(- z\right)}}}$$

したがって、

$$\int{z^{2} e^{- z} d z} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 e^{- z}$$

簡単化せよ:

$$\int{z^{2} e^{- z} d z} = \left(- z^{2} - 2 z - 2\right) e^{- z}$$

積分定数を加える:

$$\int{z^{2} e^{- z} d z} = \left(- z^{2} - 2 z - 2\right) e^{- z}+C$$

$$$\int z^{2} e^{- z}\, dz = \left(- z^{2} - 2 z - 2\right) e^{- z} + C$$$A