$$$z^{2} e^{- z}$$$ 的積分

求$$$\int z^{2} e^{- z}\, dz$$$。

對於積分 $$$\int{z^{2} e^{- z} d z}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=z^{2}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{- z} dz$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(z^{2}\right)^{\prime }dz=2 z dz$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- z} d z}=- e^{- z}$$$（步驟見 »）。

因此，

$${\color{red}{\int{z^{2} e^{- z} d z}}}={\color{red}{\left(z^{2} \cdot \left(- e^{- z}\right)-\int{\left(- e^{- z}\right) \cdot 2 z d z}\right)}}={\color{red}{\left(- z^{2} e^{- z} - \int{\left(- 2 z e^{- z}\right)d z}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$，使用 $$$c=-2$$$ 與 $$$f{\left(z \right)} = z e^{- z}$$$：

$$- z^{2} e^{- z} - {\color{red}{\int{\left(- 2 z e^{- z}\right)d z}}} = - z^{2} e^{- z} - {\color{red}{\left(- 2 \int{z e^{- z} d z}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{z e^{- z} d z}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=z$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{- z} dz$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(z\right)^{\prime }dz=1 dz$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- z} d z}=- e^{- z}$$$（步驟見 »）。

所以，

$$- z^{2} e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{z e^{- z} d z}}}=- z^{2} e^{- z} + 2 {\color{red}{\left(z \cdot \left(- e^{- z}\right)-\int{\left(- e^{- z}\right) \cdot 1 d z}\right)}}=- z^{2} e^{- z} + 2 {\color{red}{\left(- z e^{- z} - \int{\left(- e^{- z}\right)d z}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(z \right)} = e^{- z}$$$：

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{- z}\right)d z}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{- z} d z}\right)}}$$

令 $$$u=- z$$$。

則 $$$du=\left(- z\right)^{\prime }dz = - dz$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dz = - du$$$。

所以，

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{e^{- z} d z}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} + 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- z$$$：

$$- z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 e^{{\color{red}{u}}} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 e^{{\color{red}{\left(- z\right)}}}$$

因此，

$$\int{z^{2} e^{- z} d z} = - z^{2} e^{- z} - 2 z e^{- z} - 2 e^{- z}$$

化簡：

$$\int{z^{2} e^{- z} d z} = \left(- z^{2} - 2 z - 2\right) e^{- z}$$

加上積分常數：

$$\int{z^{2} e^{- z} d z} = \left(- z^{2} - 2 z - 2\right) e^{- z}+C$$

$$$\int z^{2} e^{- z}\, dz = \left(- z^{2} - 2 z - 2\right) e^{- z} + C$$$A