$$$\frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln\left(\cos{\left(y \right)}\right)}$$$의 적분

$$$\int \frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln\left(\cos{\left(y \right)}\right)}\, dy$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\cos{\left(y \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\cos{\left(y \right)}\right)^{\prime }dy = - \sin{\left(y \right)} dy$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sin{\left(y \right)} dy = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u \ln{\left(u \right)}} d u}\right)}}$$

$$$v=\ln{\left(u \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \frac{du}{u}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{du}{u} = dv$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u \ln{\left(u \right)}} d u}}} = - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

다음 $$$v=\ln{\left(u \right)}$$$을 기억하라:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\ln{\left(u \right)}}}}\right| \right)}$$

다음 $$$u=\cos{\left(y \right)}$$$을 기억하라:

$$- \ln{\left(\left|{\ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left({\color{red}{\cos{\left(y \right)}}} \right)}}\right| \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}} d y} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}} d y} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln\left(\cos{\left(y \right)}\right)}\, dy = - \ln\left(\left|{\ln\left(\cos{\left(y \right)}\right)}\right|\right) + C$$$A