$$$\frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln\left(\cos{\left(y \right)}\right)}$$$の積分

$$$\int \frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln\left(\cos{\left(y \right)}\right)}\, dy$$$ を求めよ。

$$$u=\cos{\left(y \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\cos{\left(y \right)}\right)^{\prime }dy = - \sin{\left(y \right)} dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sin{\left(y \right)} dy = - du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u \ln{\left(u \right)}} d u}\right)}}$$

$$$v=\ln{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \frac{du}{u}$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{du}{u} = dv$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u \ln{\left(u \right)}} d u}}} = - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$v=\ln{\left(u \right)}$$$:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\ln{\left(u \right)}}}}\right| \right)}$$

次のことを思い出してください $$$u=\cos{\left(y \right)}$$$:

$$- \ln{\left(\left|{\ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left({\color{red}{\cos{\left(y \right)}}} \right)}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}} d y} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}} d y} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln\left(\cos{\left(y \right)}\right)}\, dy = - \ln\left(\left|{\ln\left(\cos{\left(y \right)}\right)}\right|\right) + C$$$A