$$$\frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln\left(\cos{\left(y \right)}\right)}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln\left(\cos{\left(y \right)}\right)}\, dy$$$。

令 $$$u=\cos{\left(y \right)}$$$。

則 $$$du=\left(\cos{\left(y \right)}\right)^{\prime }dy = - \sin{\left(y \right)} dy$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\sin{\left(y \right)} dy = - du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u \ln{\left(u \right)}} d u}\right)}}$$

令 $$$v=\ln{\left(u \right)}$$$。

則 $$$dv=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \frac{du}{u}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{du}{u} = dv$$$。

因此，

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u \ln{\left(u \right)}} d u}}} = - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

回顧一下 $$$v=\ln{\left(u \right)}$$$：

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\ln{\left(u \right)}}}}\right| \right)}$$

回顧一下 $$$u=\cos{\left(y \right)}$$$：

$$- \ln{\left(\left|{\ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left({\color{red}{\cos{\left(y \right)}}} \right)}}\right| \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}} d y} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}}\right| \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}} d y} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left(\cos{\left(y \right)} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{\tan{\left(y \right)}}{\ln\left(\cos{\left(y \right)}\right)}\, dy = - \ln\left(\left|{\ln\left(\cos{\left(y \right)}\right)}\right|\right) + C$$$A