$$$x$$$에 대한 $$$e^{\frac{2 y}{x}}$$$의 적분

$$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=e^{\frac{2 y}{x}}$$$와 $$$\operatorname{dv}=dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(e^{\frac{2 y}{x}}\right)^{\prime }dx=- \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x^{2}} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{e^{\frac{2 y}{x}} d x}}}={\color{red}{\left(e^{\frac{2 y}{x}} \cdot x-\int{x \cdot \left(- \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x^{2}}\right) d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{\frac{2 y}{x}} - \int{\left(- \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x}\right)d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=- 2 y$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{2 y}{x}}}{x}$$$에 적용하세요:

$$x e^{\frac{2 y}{x}} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x}\right)d x}}} = x e^{\frac{2 y}{x}} - {\color{red}{\left(- 2 y \int{\frac{e^{\frac{2 y}{x}}}{x} d x}\right)}}$$

$$$u=\frac{2 y}{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{2 y}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{2 y}{x^{2}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{x^{2}} = - \frac{du}{2 y}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$x e^{\frac{2 y}{x}} + 2 y {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{2 y}{x}}}{x} d x}}} = x e^{\frac{2 y}{x}} + 2 y {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{u}}{u}$$$에 적용하세요:

$$x e^{\frac{2 y}{x}} + 2 y {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}} = x e^{\frac{2 y}{x}} + 2 y {\color{red}{\left(- \int{\frac{e^{u}}{u} d u}\right)}}$$

이 적분(지수적분)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

다음 $$$u=\frac{2 y}{x}$$$을 기억하라:

$$x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(\frac{2 y}{x}\right)}} \right)}$$

따라서,

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d x} = x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left(\frac{2 y}{x} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d x} = x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left(\frac{2 y}{x} \right)}+C$$

$$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dx = \left(x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left(\frac{2 y}{x} \right)}\right) + C$$$A