$$$e^{\frac{2 y}{x}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=e^{\frac{2 y}{x}}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(e^{\frac{2 y}{x}}\right)^{\prime }dx=- \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x^{2}} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{\frac{2 y}{x}} d x}}}={\color{red}{\left(e^{\frac{2 y}{x}} \cdot x-\int{x \cdot \left(- \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x^{2}}\right) d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{\frac{2 y}{x}} - \int{\left(- \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x}\right)d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=- 2 y$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{2 y}{x}}}{x}$$$ に対して適用する:

$$x e^{\frac{2 y}{x}} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x}\right)d x}}} = x e^{\frac{2 y}{x}} - {\color{red}{\left(- 2 y \int{\frac{e^{\frac{2 y}{x}}}{x} d x}\right)}}$$

$$$u=\frac{2 y}{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{2 y}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{2 y}{x^{2}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{x^{2}} = - \frac{du}{2 y}$$$ となります。

したがって、

$$x e^{\frac{2 y}{x}} + 2 y {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{2 y}{x}}}{x} d x}}} = x e^{\frac{2 y}{x}} + 2 y {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{u}}{u}$$$ に対して適用する:

$$x e^{\frac{2 y}{x}} + 2 y {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}} = x e^{\frac{2 y}{x}} + 2 y {\color{red}{\left(- \int{\frac{e^{u}}{u} d u}\right)}}$$

この積分（指数積分）には閉形式はありません:

$$x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{2 y}{x}$$$:

$$x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(\frac{2 y}{x}\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d x} = x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left(\frac{2 y}{x} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d x} = x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left(\frac{2 y}{x} \right)}+C$$

$$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dx = \left(x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left(\frac{2 y}{x} \right)}\right) + C$$$A