Intégrale de $$$e^{\frac{2 y}{x}}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dx$$$.

Pour l’intégrale $$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=e^{\frac{2 y}{x}}$$$ et $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(e^{\frac{2 y}{x}}\right)^{\prime }dx=- \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x^{2}} dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Donc,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{2 y}{x}} d x}}}={\color{red}{\left(e^{\frac{2 y}{x}} \cdot x-\int{x \cdot \left(- \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x^{2}}\right) d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{\frac{2 y}{x}} - \int{\left(- \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x}\right)d x}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=- 2 y$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{2 y}{x}}}{x}$$$ :

$$x e^{\frac{2 y}{x}} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{2 y e^{\frac{2 y}{x}}}{x}\right)d x}}} = x e^{\frac{2 y}{x}} - {\color{red}{\left(- 2 y \int{\frac{e^{\frac{2 y}{x}}}{x} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=\frac{2 y}{x}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{2 y}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{2 y}{x^{2}} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dx}{x^{2}} = - \frac{du}{2 y}$$$.

L’intégrale devient

$$x e^{\frac{2 y}{x}} + 2 y {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{2 y}{x}}}{x} d x}}} = x e^{\frac{2 y}{x}} + 2 y {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{u}}{u}$$$ :

$$x e^{\frac{2 y}{x}} + 2 y {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{u}\right)d u}}} = x e^{\frac{2 y}{x}} + 2 y {\color{red}{\left(- \int{\frac{e^{u}}{u} d u}\right)}}$$

Cette intégrale (Intégrale exponentielle) n’admet pas de forme fermée :

$$x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{2 y}{x}$$$ :

$$x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(\frac{2 y}{x}\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d x} = x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left(\frac{2 y}{x} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{2 y}{x}} d x} = x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left(\frac{2 y}{x} \right)}+C$$

$$$\int e^{\frac{2 y}{x}}\, dx = \left(x e^{\frac{2 y}{x}} - 2 y \operatorname{Ei}{\left(\frac{2 y}{x} \right)}\right) + C$$$A