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Dérivée de $$$x e^{- x}$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(x e^{- x}\right)$$$.
Solution
Appliquez la règle du produit $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$f{\left(x \right)} = x$$$ et $$$g{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x e^{- x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) e^{- x} + x \frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right)\right)}$$La fonction $$$e^{- x}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ et $$$g{\left(x \right)} = - x$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right)\right)} + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(- x\right)\right)} + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$La dérivée de la fonction exponentielle est $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$ :
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$x e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x e^{{\color{red}\left(- x\right)}} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$x e^{- x} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = x e^{- x} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} {\color{red}\left(1\right)}$$Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = -1$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$x e^{- x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- x\right)\right)} + e^{- x} = x e^{- x} {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + e^{- x}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$- x e^{- x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + e^{- x} = - x e^{- x} {\color{red}\left(1\right)} + e^{- x}$$Simplifier:
$$- x e^{- x} + e^{- x} = \left(1 - x\right) e^{- x}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(x e^{- x}\right) = \left(1 - x\right) e^{- x}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dx} \left(x e^{- x}\right) = \left(1 - x\right) e^{- x}$$$A