No AI is used
  1. Accueil
  2. Calculatrices
  3. Calculatrices: Analyse I
  4. Calculatrice de calcul différentiel et intégral

Calculatrice de dérivation implicite pas à pas

Calculez les dérivées implicites étape par étape

La calculatrice de dérivation implicite trouvera les dérivées première et seconde d'une fonction implicite en considérant soit $$$y$$$ comme une fonction de $$$x$$$ soit $$$x$$$ comme une fonction de $$$y$$$, avec les étapes détaillées.

$$$($$$
,
$$$)$$$
Laissez vide si vous n'avez pas besoin de la dérivée en un point donné.

Si le calculateur n'a pas pu calculer quelque chose, si vous avez identifié une erreur, ou si vous avez une suggestion ou un commentaire, veuillez nous contacter.

Votre saisie

Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3} = 2 x y\right)$$$.

Solution

Dérivez séparément les deux membres de l'équation (en considérant $$$y$$$ comme une fonction de $$$x$$$) : $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right)$$$.

Dérivez le membre gauche de l’équation.

La dérivée d'une somme/différence est la somme/différence des dérivées :

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3}\right) + \frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)}$$

La fonction $$$y^{3}{\left(x \right)}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = u^{3}$$$ et $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$.

Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x^{3}\right) = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x^{3}\right)$$

Appliquez la règle de la puissance $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ avec $$$n = 3$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(x^{3}\right) = {\color{red}\left(3 u^{2}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(x^{3}\right)$$

Revenir à la variable initiale:

$$3 {\color{red}\left(u\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(x^{3}\right) = 3 {\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(x^{3}\right)$$

Appliquez la règle de la puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 3$$$:

$$3 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3}\right)\right)} = 3 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + {\color{red}\left(3 x^{2}\right)}$$

Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right) = 3 x^{2} + 3 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$$.

Dérivez le membre de droite de l’équation.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = 2$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x y{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Appliquez la règle du produit $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$f{\left(x \right)} = x$$$ et $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$ :

$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x y{\left(x \right)}\right)\right)} = 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) y{\left(x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$

Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right) = 2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)}$$$.

Par conséquent, nous avons obtenu l’équation linéaire suivante par rapport à la dérivée : $$$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{dy}{dx} = 2 x \frac{dy}{dx} + 2 y$$$.

En la résolvant, nous obtenons que $$$\frac{dy}{dx} = \frac{3 x^{2} - 2 y}{2 x - 3 y^{2}}$$$.

Réponse

$$$\frac{dy}{dx} = \frac{3 x^{2} - 2 y}{2 x - 3 y^{2}}$$$A

Note associée: Implicit Differentiation