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Calculatrice de dérivation logarithmique

Calculer les dérivées étape par étape à l'aide des logarithmes

La calculatrice en ligne calculera la dérivée de toute fonction en utilisant la dérivation logarithmique, en affichant les étapes. Elle évaluera également la dérivée au point donné si nécessaire.

Calculatrice associée: Calculatrice de dérivées

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Votre saisie

Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right)$$$.

Solution

Soit $$$H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)}}$$$.

Prenez le logarithme des deux membres : $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right)$$$.

Réécrivez le second membre en utilisant les propriétés des logarithmes : $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}$$$

Dérivez séparément les deux membres de l’équation : $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)$$$.

Dérivez le membre gauche de l’équation.

La fonction $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ et $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$.

Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$

La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$ :

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$

Revenir à la variable initiale:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$

Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.

Dérivez le membre de droite de l’équation.

Appliquez la règle du produit $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$ et $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$$ :

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) \sin{\left(x \right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}$$

La dérivée du sinus est $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}$$$ :

$$\ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$

La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$ :

$$\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$

Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$$.

Ainsi, $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$$.

Donc, $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right).$$$

Réponse

$$$\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right) = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)$$$A

Note associée: Logarithmic Differentiation