|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Afgeleide van $$$x e^{- x}$$$
Gerelateerde rekenmachines: Rekenmachine voor logaritmisch differentiëren, Rekenmachine voor impliciete differentiatie met stappen
Uw invoer
Bepaal $$$\frac{d}{dx} \left(x e^{- x}\right)$$$.
Oplossing
Pas de productregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ toe op $$$f{\left(x \right)} = x$$$ en $$$g{\left(x \right)} = e^{- x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x e^{- x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) e^{- x} + x \frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right)\right)}$$De functie $$$e^{- x}$$$ is de samenstelling $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ van twee functies $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ en $$$g{\left(x \right)} = - x$$$.
Pas de kettingregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ toe:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right)\right)} + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(- x\right)\right)} + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$De afgeleide van de exponentiële functie is $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Keer terug naar de oorspronkelijke variabele:
$$x e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x e^{{\color{red}\left(- x\right)}} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Pas de machtsregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ toe met $$$n = 1$$$, met andere woorden, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$x e^{- x} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = x e^{- x} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} {\color{red}\left(1\right)}$$Pas de regel van de constante factor $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ toe met $$$c = -1$$$ en $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$x e^{- x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- x\right)\right)} + e^{- x} = x e^{- x} {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + e^{- x}$$Pas de machtsregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ toe met $$$n = 1$$$, met andere woorden, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$- x e^{- x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + e^{- x} = - x e^{- x} {\color{red}\left(1\right)} + e^{- x}$$Vereenvoudig:
$$- x e^{- x} + e^{- x} = \left(1 - x\right) e^{- x}$$Dus, $$$\frac{d}{dx} \left(x e^{- x}\right) = \left(1 - x\right) e^{- x}$$$.
Antwoord
$$$\frac{d}{dx} \left(x e^{- x}\right) = \left(1 - x\right) e^{- x}$$$A