No AI is used
  1. Startpagina
  2. Rekenmachines
  3. Rekenmachines: Analyse I
  4. Rekenmachine voor differentiaal- en integraalrekening

Rekenmachine voor impliciete differentiatie met stappen

Bereken impliciete afgeleiden stap voor stap

De rekenmachine voor impliciete differentiatie bepaalt de eerste en tweede afgeleide van een impliciete functie, waarbij ofwel $$$y$$$ als functie van $$$x$$$ of $$$x$$$ als functie van $$$y$$$ wordt beschouwd, met stapsgewijze uitwerking.

$$$($$$
,
$$$)$$$
Laat leeg als u de afgeleide niet in een bepaald punt nodig hebt.

Als de rekenmachine iets niet heeft berekend, als u een fout hebt ontdekt of als u een suggestie/feedback hebt, neem dan contact met ons op.

Uw invoer

Bepaal $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3} = 2 x y\right)$$$.

Oplossing

Differentieer afzonderlijk beide zijden van de vergelijking (beschouw $$$y$$$ als een functie van $$$x$$$): $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right)$$$.

Differentieer het linkerlid van de vergelijking.

De afgeleide van een som/verschil is de som/het verschil van de afgeleiden:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3}\right) + \frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Pas de machtsregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ toe met $$$n = 3$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(3 x^{2}\right)} + \frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)$$

De functie $$$y^{3}{\left(x \right)}$$$ is de samenstelling $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ van twee functies $$$f{\left(u \right)} = u^{3}$$$ en $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$.

Pas de kettingregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ toe:

$$3 x^{2} + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)} = 3 x^{2} + {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Pas de machtsregel $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ toe met $$$n = 3$$$:

$$3 x^{2} + {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = 3 x^{2} + {\color{red}\left(3 u^{2}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$

Keer terug naar de oorspronkelijke variabele:

$$3 x^{2} + 3 {\color{red}\left(u\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = 3 x^{2} + 3 {\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$

Dus, $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right) = 3 x^{2} + 3 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$$.

Differentieer het rechterlid van de vergelijking.

Pas de regel van de constante factor $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ toe met $$$c = 2$$$ en $$$f{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x y{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Pas de productregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ toe op $$$f{\left(x \right)} = x$$$ en $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$:

$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x y{\left(x \right)}\right)\right)} = 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) y{\left(x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Pas de machtsregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ toe met $$$n = 1$$$, met andere woorden, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$

Dus, $$$\frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right) = 2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)}$$$.

Daarom hebben we de volgende lineaire vergelijking in de afgeleide verkregen: $$$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{dy}{dx} = 2 x \frac{dy}{dx} + 2 y$$$.

Door het op te lossen, verkrijgen we $$$\frac{dy}{dx} = \frac{3 x^{2} - 2 y}{2 x - 3 y^{2}}$$$.

Antwoord

$$$\frac{dy}{dx} = \frac{3 x^{2} - 2 y}{2 x - 3 y^{2}}$$$A


Please try a new game Rotatly
Verwante opmerking: Implicit Differentiation