|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivatan av $$$x e^{- x}$$$
Relaterade kalkylatorer: Kalkylator för logaritmisk derivering, Räknare för implicit derivering med steg
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d}{dx} \left(x e^{- x}\right)$$$.
Lösning
Tillämpa produktregeln $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ med $$$f{\left(x \right)} = x$$$ och $$$g{\left(x \right)} = e^{- x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x e^{- x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) e^{- x} + x \frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right)\right)}$$Funktionen $$$e^{- x}$$$ är sammansättningen $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ av två funktioner $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ och $$$g{\left(x \right)} = - x$$$.
Tillämpa kedjeregeln $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right)\right)} + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(- x\right)\right)} + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Derivatan av exponentialfunktionen är $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Återgå till den ursprungliga variabeln:
$$x e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x e^{{\color{red}\left(- x\right)}} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ med $$$n = 1$$$, det vill säga $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$x e^{- x} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = x e^{- x} \frac{d}{dx} \left(- x\right) + e^{- x} {\color{red}\left(1\right)}$$Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ med $$$c = -1$$$ och $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$x e^{- x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- x\right)\right)} + e^{- x} = x e^{- x} {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + e^{- x}$$Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ med $$$n = 1$$$, det vill säga $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$- x e^{- x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + e^{- x} = - x e^{- x} {\color{red}\left(1\right)} + e^{- x}$$Förenkla:
$$- x e^{- x} + e^{- x} = \left(1 - x\right) e^{- x}$$Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(x e^{- x}\right) = \left(1 - x\right) e^{- x}$$$.
Svar
$$$\frac{d}{dx} \left(x e^{- x}\right) = \left(1 - x\right) e^{- x}$$$A