Funktion $$$\sec{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ integraali

Määritä $$$\int \sec{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=\frac{x}{2}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = 2 du$$$.

Integraali voidaan kirjoittaa muotoon

$${\color{red}{\int{\sec{\left(\frac{x}{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sec{\left(u \right)} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=2$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \sec{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{2 \sec{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\sec{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

Kirjoita sekantti uudelleen muodossa $$$\sec\left( u \right)=\frac{1}{\cos\left( u \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\sec{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}$$

Kirjoita kosini sinin avulla kaavaa $$$\cos\left( u \right)=\sin\left( u + \frac{\pi}{2}\right)$$$ käyttäen ja kirjoita sitten sini uudelleen kaksinkertaisen kulman kaavaa $$$\sin\left( u \right)=2\sin\left(\frac{ u }{2}\right)\cos\left(\frac{ u }{2}\right)$$$ käyttäen:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}$$

Kerro osoittaja ja nimittäjä luvulla $$$\sec^2\left(\frac{ u }{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}$$

Olkoon $$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$.

Tällöin $$$dv=\left(\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }du = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} du$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} du = 2 dv$$$.

Näin ollen,

$$2 {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

Funktion $$$\frac{1}{v}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

Muista, että $$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$:

$$2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}$$

Muista, että $$$u=\frac{x}{2}$$$:

$$2 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}\right| \right)} = 2 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}}}{2} \right)}}\right| \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\sec{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = 2 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}$$

Sievennä:

$$\int{\sec{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = 2 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)}}\right| \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\sec{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = 2 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \sec{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)}}\right|\right) + C$$$A