Integral von $$$\frac{e^{- x^{2}}}{2}$$$

Bestimme $$$\int \frac{e^{- x^{2}}}{2}\, dx$$$.

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=\frac{1}{2}$$$ und $$$f{\left(x \right)} = e^{- x^{2}}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x^{2}}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{- x^{2}} d x}}{2}\right)}}$$

Dieses Integral (Fehlerfunktion) besitzt keine geschlossene Form:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- x^{2}} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}\right)}}}{2}$$

Daher,

$$\int{\frac{e^{- x^{2}}}{2} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{e^{- x^{2}}}{2} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x^{2}}}{2}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4} + C$$$A