$$$\frac{e^{- x^{2}}}{2}$$$の積分

$$$\int \frac{e^{- x^{2}}}{2}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{- x^{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x^{2}}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{- x^{2}} d x}}{2}\right)}}$$

この積分（誤差関数）には閉形式はありません:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- x^{2}} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}\right)}}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{e^{- x^{2}}}{2} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{e^{- x^{2}}}{2} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x^{2}}}{2}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4} + C$$$A