$$$\frac{e^{- x^{2}}}{2}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{e^{- x^{2}}}{2}\, dx$$$。

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{- x^{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x^{2}}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{- x^{2}} d x}}{2}\right)}}$$

该积分（误差函数）没有闭式表达式：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- x^{2}} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}\right)}}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{- x^{2}}}{2} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{e^{- x^{2}}}{2} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x^{2}}}{2}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4} + C$$$A